与えられた複素数を極形式で表す問題です。 (1) $\frac{2}{1-i}$ (2) $(-1 + \sqrt{3}i)^8$

1. 問題の内容

与えられた複素数を極形式で表す問題です。

(1) $\frac{2}{1-i}$

(2) $(-1 + \sqrt{3}i)^8$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{2}{1-i}$ の極形式を求めます。

まず、分母を実数化します。

$\frac{2}{1-i} = \frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2(1+i)}{1 - i^2} = \frac{2(1+i)}{1 - (-1)} = \frac{2(1+i)}{2} = 1+i$

$1+i$ の絶対値 $r$ は $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ です。

偏角 $\theta$ は $\tan \theta = \frac{1}{1} = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

したがって、極形式は $\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})$ です。

(2) $(-1 + \sqrt{3}i)^8$ の極形式を求めます。

まず、$-1 + \sqrt{3}i$ の極形式を求めます。

絶対値 $r$ は $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ です。

偏角 $\theta$ は $\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$ より、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ です。

したがって、$-1 + \sqrt{3}i = 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3})$ です。

ド・モアブルの定理より、

$(-1 + \sqrt{3}i)^8 = [2(\cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3})]^8 = 2^8 (\cos (\frac{2\pi}{3} \times 8) + i\sin (\frac{2\pi}{3} \times 8)) = 256(\cos \frac{16\pi}{3} + i\sin \frac{16\pi}{3})$

$\frac{16\pi}{3} = \frac{12\pi + 4\pi}{3} = 4\pi + \frac{4\pi}{3}$ より、

$\cos \frac{16\pi}{3} = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

$\sin \frac{16\pi}{3} = \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$(-1 + \sqrt{3}i)^8 = 256(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -128 - 128\sqrt{3}i$

極形式は $256(\cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3})$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})$

(2) $256(\cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3})$