与えられた行列 $P$, $P^{-1}$, $D$ があり、$P^{-1}AP = D$ を満たす行列 $A$ について、$A^n$ と $A^{-n}$ を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。具体的には、$A^n$ と $A^{-n}$ の各成分が与えられた変数 $a_{ij}$, $b_{ij}$, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\mu_1$, $\mu_2$ を用いて表されており、これらの変数の値を決定する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた行列 $P$, $P^{-1}$, $D$ があり、$P^{-1}AP = D$ を満たす行列 $A$ について、$A^n$ と $A^{-n}$ を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。具体的には、$A^n$ と $A^{-n}$ の各成分が与えられた変数 $a_{ij}$, $b_{ij}$, $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\mu_1$, $\mu_2$ を用いて表されており、これらの変数の値を決定する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$P^{-1}AP = D$ より、$A = PDP^{-1}$ です。これにより、$A$ を計算することができます。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & -7 \\ -10 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 4 & -9 \end{pmatrix}$

次に、$A^n$ を求めます。$A^n = (PDP^{-1})^n = PD^nP^{-1}$ となります。

$D^n = \begin{pmatrix} (-7)^n & 0 \\ 0 & (-5)^n \end{pmatrix}$

したがって、$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-7)^n & 0 \\ 0 & (-5)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -(-7)^n & (-7)^n \\ 2(-5)^n & -(-5)^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(-7)^n + 2(-5)^n & (-7)^n - (-5)^n \\ -2(-7)^n + 2(-5)^n & 2(-7)^n - (-5)^n \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} -(-7)^n + 2(-5)^n & (-7)^n - (-5)^n \\ -2(-7)^n + 2(-5)^n & 2(-7)^n - (-5)^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \lambda_1^n + b_{11} \lambda_2^n & a_{12} \lambda_1^n + b_{12} \lambda_2^n \\ a_{21} \lambda_1^n + b_{21} \lambda_2^n & a_{22} \lambda_1^n + b_{22} \lambda_2^n \end{pmatrix}$

$\lambda_1 = -7$, $\lambda_2 = -5$ とすると、

$a_{11} = -1$, $b_{11} = 2$, $a_{12} = 1$, $b_{12} = -1$, $a_{21} = -2$, $b_{21} = 2$, $a_{22} = 2$, $b_{22} = -1$

次に、$A^{-n}$ を求めます。$A^{-n} = (PDP^{-1})^{-n} = PD^{-n}P^{-1}$ となります。

$D^{-n} = \begin{pmatrix} (-7)^{-n} & 0 \\ 0 & (-5)^{-n} \end{pmatrix}$

したがって、$A^{-n} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-7)^{-n} & 0 \\ 0 & (-5)^{-n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -(-7)^{-n} & (-7)^{-n} \\ 2(-5)^{-n} & -(-5)^{-n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(-7)^{-n} + 2(-5)^{-n} & (-7)^{-n} - (-5)^{-n} \\ -2(-7)^{-n} + 2(-5)^{-n} & 2(-7)^{-n} - (-5)^{-n} \end{pmatrix}$

$A^{-n} = \begin{pmatrix} -(-7)^{-n} + 2(-5)^{-n} & (-7)^{-n} - (-5)^{-n} \\ -2(-7)^{-n} + 2(-5)^{-n} & 2(-7)^{-n} - (-5)^{-n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \mu_1^n + b_{11} \mu_2^n & a_{12} \mu_1^n + b_{12} \mu_2^n \\ a_{21} \mu_1^n + b_{21} \mu_2^n & a_{22} \mu_1^n + b_{22} \mu_2^n \end{pmatrix}$

$\mu_1 = -\frac{1}{7}$, $\mu_2 = -\frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

$a_{11} = -1$

$b_{11} = 2$

$a_{12} = 1$

$b_{12} = -1$

$a_{21} = -2$

$b_{21} = 2$

$a_{22} = 2$

$b_{22} = -1$

$\mu_1 = -1/7$

$\mu_2 = -1/5$