与えられた連立一次方程式を解く問題です。連立一次方程式は行列形式で以下のように表されます。 $\begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解く問題です。連立一次方程式は行列形式で以下のように表されます。

$\begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

この連立一次方程式を解くために、拡大係数行列を作成し、ガウスの消去法を用いて解きます。

拡大係数行列は以下のようになります。

$\begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 & a \\ 5 & 3 & -1 & b \\ 1 & 1 & 0 & c \end{bmatrix}$

行の入れ替えを行い、計算を楽にします。具体的には、第1行と第3行を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & c \\ 5 & 3 & -1 & b \\ 4 & 1 & -1 & a \end{bmatrix}$

次に、第2行から第1行の5倍を引き、第3行から第1行の4倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & c \\ 0 & -2 & -1 & b-5c \\ 0 & -3 & -1 & a-4c \end{bmatrix}$

次に、第3行から第2行の3/2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & c \\ 0 & -2 & -1 & b-5c \\ 0 & 0 & 1/2 & a-4c - \frac{3}{2}(b-5c) \end{bmatrix}$

これを整理すると、

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & c \\ 0 & -2 & -1 & b-5c \\ 0 & 0 & 1/2 & a-\frac{3}{2}b + \frac{7}{2}c \end{bmatrix}$

これから、以下の連立方程式を得ます。

$x_1 + x_2 = c$

$-2x_2 - x_3 = b - 5c$

$\frac{1}{2}x_3 = a - \frac{3}{2}b + \frac{7}{2}c$

3番目の式から、$x_3$を求めます。

$x_3 = 2a - 3b + 7c$

これを2番目の式に代入して、$x_2$を求めます。

$-2x_2 - (2a - 3b + 7c) = b - 5c$

$-2x_2 = 2a - 2b + 2c$

$x_2 = -a + b - c$

最後に、1番目の式に$x_2$を代入して、$x_1$を求めます。

$x_1 + (-a + b - c) = c$

$x_1 = a - b + 2c$

3. 最終的な答え

$x_1 = a - b + 2c$

$x_2 = -a + b - c$

$x_3 = 2a - 3b + 7c$