与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}$ に対して、以下のものを求める問題です。 * 固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ （ただし $\lambda_1 < \lambda_2$）。 * 対応する固有ベクトル $\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2$ を列ベクトルとする行列 $P = (\mathbf{p}_1 \ \mathbf{p}_2)$。ただし $P$ の対角成分は1とする。 * $P^{-1}$ * $D = P^{-1}AP$ * $A^n$ の成分 $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$ （ただし $\lambda$ は0でない固有値とする）。$A^n = \begin{pmatrix} a_{11}\lambda^n & a_{12}\lambda^n \\ a_{21}\lambda^n & a_{22}\lambda^n \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}$ に対して、以下のものを求める問題です。

* 固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ （ただし $\lambda_1 < \lambda_2$）。

* 対応する固有ベクトル $\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2$ を列ベクトルとする行列 $P = (\mathbf{p}_1 \ \mathbf{p}_2)$。ただし $P$ の対角成分は1とする。

* $P^{-1}$

* $D = P^{-1}AP$

* $A^n$ の成分 $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$ （ただし $\lambda$ は0でない固有値とする）。$A^n = \begin{pmatrix} a_{11}\lambda^n & a_{12}\lambda^n \\ a_{21}\lambda^n & a_{22}\lambda^n \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

* まず、行列 $A$ の固有値を求めます。固有方程式は

$|A - \lambda I| = 0$

$\begin{vmatrix} 6-\lambda & 6 \\ -3 & -3-\lambda \end{vmatrix} = (6-\lambda)(-3-\lambda) - (6)(-3) = -18 -6\lambda + 3\lambda + \lambda^2 + 18 = \lambda^2 - 3\lambda = \lambda(\lambda - 3) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = 3$。

* 次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

* $\lambda_1 = 0$ のとき、

$(A - 0I)\mathbf{p}_1 = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$6x + 6y = 0 \implies x = -y$

$x = 1$ とすると $y = -1$ なので、固有ベクトル $\mathbf{p}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。

* $\lambda_2 = 3$ のとき、

$(A - 3I)\mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x + 6y = 0 \implies x = -2y$

$x = 1$ とすると $y = -1/2$となり、$P$の対角成分が1にならないので、

$y = 1$とすると、$x = -2$。Pの対角成分を1にするために固有ベクトルを定数倍することを許容すると、

$\mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1/2 \end{pmatrix}$より$\mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$となる。すると$P$の対角成分が1とならない。

$\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$より、固有ベクトル $\mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$。対角成分を1にするには$(1,-1/2)$とすれば良い。

* 行列 $P$ を構成します。ただし、対角成分が1であるように固有ベクトルを調整します。

$\mathbf{p}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ なので、$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$。

* $P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求めます。

$P^{-1} = \frac{1}{(1)(-1) - (2)(-1)} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。

* $D = P^{-1}AP$ を求めます。

$D = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$。

* $A^n$ を求めます。$A^n = PD^nP^{-1}$。

$D^n = \begin{pmatrix} 0^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}$。

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2\cdot3^n \\ 0 & -3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot3^n & 2\cdot3^n \\ -3^n & -3^n \end{pmatrix}$

したがって、$a_{11} = 2$, $a_{12} = 2$, $a_{21} = -1$, $a_{22} = -1$。$\lambda=3$

3. 最終的な答え

$\lambda_1 = 0$

$\lambda_2 = 3$

$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

$P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$D = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

$a_{11} = 2$

$a_{12} = 2$

$a_{21} = -1$

$a_{22} = -1$