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$a \neq 0$ のとき、以下の2つの行列の逆行列を求めよ。 (1) $ \begin{bmatrix} a & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} $ (2) $ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -a+1 \\ 2 & 3 & 2a \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $

代数学行列逆行列線形代数行基本変形
2025/6/24

1. 問題の内容

a≠0a \neq 0 のとき、以下の2つの行列の逆行列を求めよ。
(1)
\begin{bmatrix}
a & 1 & 1 \\
0 & a & 1 \\
0 & 0 & a
\end{bmatrix}
(2)
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -a+1 \\
2 & 3 & 2a \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}

2. 解き方の手順

(1) 行列AAの逆行列を求める。
A=[a110a100a]A = \begin{bmatrix} a & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix}
AAと単位行列を並べた行列を作り、行基本変形を行って、AAを単位行列に変形する。
変形後の右側の行列がAAの逆行列となる。
\begin{bmatrix}
a & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\
0 & a & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & a & | & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
1行目を1/a1/a倍する。
\begin{bmatrix}
1 & 1/a & 1/a & | & 1/a & 0 & 0 \\
0 & a & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & a & | & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
2行目を1/a1/a倍する。
\begin{bmatrix}
1 & 1/a & 1/a & | & 1/a & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1/a & | & 0 & 1/a & 0 \\
0 & 0 & a & | & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
3行目を1/a1/a倍する。
\begin{bmatrix}
1 & 1/a & 1/a & | & 1/a & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1/a & | & 0 & 1/a & 0 \\
0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1/a
\end{bmatrix}
1行目から2行目の1/a1/a倍を引く。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 1/a & -1/a^2 & 0 \\
0 & 1 & 1/a & | & 0 & 1/a & 0 \\
0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1/a
\end{bmatrix}
2行目から3行目の1/a1/a倍を引く。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 1/a & -1/a^2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & | & 0 & 1/a & -1/a^2 \\
0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1/a
\end{bmatrix}
よって、逆行列は
\begin{bmatrix}
1/a & -1/a^2 & 0 \\
0 & 1/a & -1/a^2 \\
0 & 0 & 1/a
\end{bmatrix}
(2) 行列BBの逆行列を求める。
B=[11−a+1232a111]B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -a+1 \\ 2 & 3 & 2a \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}
BBと単位行列を並べた行列を作り、行基本変形を行って、BBを単位行列に変形する。
変形後の右側の行列がBBの逆行列となる。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -a+1 & | & 1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 2a & | & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
2行目から1行目の2倍を引く。
3行目から1行目を引く。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -a+1 & | & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4a-2 & | & -2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & a & | & -1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
1行目から2行目を引く。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -5a+3 & | & 3 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4a-2 & | & -2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & a & | & -1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
3行目を1/a1/a倍する。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -5a+3 & | & 3 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 4a-2 & | & -2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & | & -1/a & 0 & 1/a
\end{bmatrix}
1行目に3行目の5a−35a-3倍を足す。
2行目に3行目の−4a+2-4a+2倍を足す。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 3 + (-1/a)(5a-3) & -1 & (5a-3)/a \\
0 & 1 & 0 & | & -2 + (-1/a)(-4a+2) & 1 & (-4a+2)/a \\
0 & 0 & 1 & | & -1/a & 0 & 1/a
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & (3a - 5a + 3)/a & -1 & (5a-3)/a \\
0 & 1 & 0 & | & (-2a + 4a - 2)/a & 1 & (-4a+2)/a \\
0 & 0 & 1 & | & -1/a & 0 & 1/a
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & (-2a + 3)/a & -1 & (5a-3)/a \\
0 & 1 & 0 & | & (2a - 2)/a & 1 & (-4a+2)/a \\
0 & 0 & 1 & | & -1/a & 0 & 1/a
\end{bmatrix}
よって、逆行列は
\begin{bmatrix}
(-2a+3)/a & -1 & (5a-3)/a \\
(2a-2)/a & 1 & (-4a+2)/a \\
-1/a & 0 & 1/a
\end{bmatrix}

3. 最終的な答え

(1) 逆行列は
\begin{bmatrix}
1/a & -1/a^2 & 0 \\
0 & 1/a & -1/a^2 \\
0 & 0 & 1/a
\end{bmatrix}
(2) 逆行列は
\begin{bmatrix}
(-2a+3)/a & -1 & (5a-3)/a \\
(2a-2)/a & 1 & (-4a+2)/a \\
-1/a & 0 & 1/a
\end{bmatrix}
または
\begin{bmatrix}
\frac{-2a+3}{a} & -1 & \frac{5a-3}{a} \\
\frac{2a-2}{a} & 1 & \frac{-4a+2}{a} \\
\frac{-1}{a} & 0 & \frac{1}{a}
\end{bmatrix}

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