与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答える問題です。 * Aの固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ ($\lambda_1 < \lambda_2$) を求める。 * 対応する固有ベクトル $\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2$ と $P = (\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2)$ を求める（ただし、$P$ の対角成分は1とする）。 * $P^{-1}AP = D$ となる対角行列 $D$ を求める。 * $A^n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答える問題です。

* Aの固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ ($\lambda_1 < \lambda_2$) を求める。

* 対応する固有ベクトル $\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2$ と $P = (\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2)$ を求める（ただし、$P$ の対角成分は1とする）。

* $P^{-1}AP = D$ となる対角行列 $D$ を求める。

* $A^n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 固有値の計算：

$A$ の固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ で与えられる。

$$

\begin{vmatrix} 6-\lambda & 6 \\ -3 & -3-\lambda \end{vmatrix} = (6-\lambda)(-3-\lambda) - (6)(-3) = -18 - 6\lambda + 3\lambda + \lambda^2 + 18 = \lambda^2 - 3\lambda = \lambda(\lambda - 3) = 0

$$

よって、固有値は $\lambda_1 = 0$ と $\lambda_2 = 3$ である。

(2) 固有ベクトルの計算：

* $\lambda_1 = 0$ に対する固有ベクトル $\mathbf{p}_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は $(A - 0I)\mathbf{p}_1 = \mathbf{0}$ を満たす。

$$

\begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

$$

$6x + 6y = 0$ より $x = -y$。$\mathbf{p}_1$ の第一成分が 1 となるように選ぶと、$\mathbf{p}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となる。

* $\lambda_2 = 3$ に対する固有ベクトル $\mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は $(A - 3I)\mathbf{p}_2 = \mathbf{0}$ を満たす。

$$

\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

$$

$3x + 6y = 0$ より $x = -2y$。$\mathbf{p}_2$ の第二成分が 1 となるように選ぶと、$\mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。

よって、$P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$。

(3) $P^{-1}$ の計算：

$P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、$\det(P) = (1)(1) - (-2)(-1) = 1 - 2 = -1$。

$P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$.

(4) 対角行列 $D$ の計算：

$D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$。

(5) $A^n$ の計算：

$A^n = P D^n P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$.

$A^n = \begin{pmatrix} 0 & -2 \cdot 3^n \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3^n & 2 \cdot 3^n \\ -3^n & -3^n \end{pmatrix}$.

$A^n = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3^n & 2 \cdot 3^n \\ -3^n & -3^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}3^n & a_{12}3^n \\ a_{21}3^n & a_{22}3^n \end{pmatrix}$

より $a_{11} = 2$, $a_{12} = 2$, $a_{21} = -1$, $a_{22} = -1$.

3. 最終的な答え

* $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = 3$

* $P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

* $D = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

* $a_{11} = 2$, $a_{12} = 2$, $a_{21} = -1$, $a_{22} = -1$