与えられた多項式 $ (2x^2 - 2x + 3)^6 $ の展開式における $ x^4 $ の係数を求める。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $(2x^2 - 2x + 3)^6$ の展開式における $x^4$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

多項定理を用いて展開式を考える。一般項は以下のようになる。

$\frac{6!}{p!q!r!} (2x^2)^p (-2x)^q (3)^r$

ここで、$p, q, r$ は非負整数であり、$p+q+r = 6$ を満たす。

$x^4$ の項を求めるので、 $2p+q = 4$ を満たす必要がある。

条件 $p+q+r=6$ および $2p+q=4$ を満たす非負整数の組 $(p, q, r)$ をすべて求める。

$2p+q=4$ より、$q=4-2p$。

$p=0$ のとき $q=4$、$r=6-p-q = 6-0-4 = 2$。よって $(p, q, r) = (0, 4, 2)$。

$p=1$ のとき $q=2$、$r=6-p-q = 6-1-2 = 3$。よって $(p, q, r) = (1, 2, 3)$。

$p=2$ のとき $q=0$、$r=6-p-q = 6-2-0 = 4$。よって $(p, q, r) = (2, 0, 4)$。

$p\ge 3$のとき、$q=4-2p < 0$となり、条件を満たさない。

したがって、$(p, q, r)$ の組は、$(0, 4, 2), (1, 2, 3), (2, 0, 4)$ の3つである。

それぞれの係数を計算する。

$(0, 4, 2)$ のとき：

$\frac{6!}{0!4!2!} (2x^2)^0 (-2x)^4 (3)^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 1 \cdot 16x^4 \cdot 9 = 15 \cdot 16 \cdot 9 x^4 = 2160 x^4$

$(1, 2, 3)$ のとき：

$\frac{6!}{1!2!3!} (2x^2)^1 (-2x)^2 (3)^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 2x^2 \cdot 4x^2 \cdot 27 = 60 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 27 x^4 = 12960 x^4$

$(2, 0, 4)$ のとき：

$\frac{6!}{2!0!4!} (2x^2)^2 (-2x)^0 (3)^4 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 4x^4 \cdot 1 \cdot 81 = 15 \cdot 4 \cdot 81 x^4 = 4860 x^4$

したがって、$x^4$ の係数は

$2160 + 12960 + 4860 = 19980$

3. 最終的な答え

19980