$x = \sqrt{7} + 4$ , $y = \sqrt{7} - 4$ のとき、次の値を求めなさい。 (1) $xy$ (2) $x^2 - y^2$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{7} + 4$ , $y = \sqrt{7} - 4$ のとき、次の値を求めなさい。

(1) $xy$

(2) $x^2 - y^2$

2. 解き方の手順

(1) $xy$ の計算

$x = \sqrt{7} + 4$ , $y = \sqrt{7} - 4$ を代入します。

$xy = (\sqrt{7} + 4)(\sqrt{7} - 4)$

これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形なので、

$xy = (\sqrt{7})^2 - 4^2$

$xy = 7 - 16$

$xy = -9$

(2) $x^2 - y^2$ の計算

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ という因数分解の公式を利用します。

まず、$x+y$ を計算します。

$x + y = (\sqrt{7} + 4) + (\sqrt{7} - 4) = 2\sqrt{7}$

次に、$x - y$ を計算します。

$x - y = (\sqrt{7} + 4) - (\sqrt{7} - 4) = \sqrt{7} + 4 - \sqrt{7} + 4 = 8$

したがって、$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 2\sqrt{7} \times 8 = 16\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) $xy = -9$

(2) $x^2 - y^2 = 16\sqrt{7}$