与えられた数列の和を公式を利用して求める問題です。問題は以下の2つです。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (4k - 3)$ (3) $\sum_{k=1}^{n} k(2k+1)(2k-1)$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を公式を利用して求める問題です。問題は以下の2つです。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (4k - 3)$

(3) $\sum_{k=1}^{n} k(2k+1)(2k-1)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (4k - 3)$

まず、シグマの性質を利用して分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k - 3) = 4 \sum_{k=1}^{n} k - 3 \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$と$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$を用いると、

$4 \sum_{k=1}^{n} k - 3 \sum_{k=1}^{n} 1 = 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 3n = 2n(n+1) - 3n = 2n^2 + 2n - 3n = 2n^2 - n = n(2n-1)$

(3) $\sum_{k=1}^{n} k(2k+1)(2k-1)$

まず、$k(2k+1)(2k-1)$を展開します。

$k(2k+1)(2k-1) = k(4k^2 - 1) = 4k^3 - k$

よって、$\sum_{k=1}^{n} k(2k+1)(2k-1) = \sum_{k=1}^{n} (4k^3 - k) = 4 \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$と$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$を用いると、

$4 \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k = 4 \cdot \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 - \frac{n(n+1)}{2} = 4 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)}{2} = n^2(n+1)^2 - \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1) \left( n(n+1) - \frac{1}{2} \right) = n(n+1) \left( n^2 + n - \frac{1}{2} \right) = \frac{n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} (4k - 3) = n(2n-1)$

(3) $\sum_{k=1}^{n} k(2k+1)(2k-1) = \frac{n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)}{2}$