実数 $\alpha, \beta, \gamma$ が $\alpha + \beta + \gamma = 2$, $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 14$, $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 20$ を満たしている。$\alpha, \beta, \gamma$ を解にもつ3次方程式 $x^3 + Ax^2 + Bx + C = 0$ の係数 $A, B, C$ を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $\alpha, \beta, \gamma$ が $\alpha + \beta + \gamma = 2$, $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 14$, $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 20$ を満たしている。$\alpha, \beta, \gamma$ を解にもつ3次方程式 $x^3 + Ax^2 + Bx + C = 0$ の係数 $A, B, C$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、基本対称式を求める。

$s_1 = \alpha + \beta + \gamma = 2$

$s_2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 14$

$s_3 = \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 20$

$(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$ より、

$2^2 = 14 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$4 = 14 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$-10 = 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -5$

$\alpha\beta\gamma = p$ とおく。

恒等式

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha))$ を用いる。

$20 - 3p = 2(14 - (-5))$

$20 - 3p = 2(19)$

$20 - 3p = 38$

$-3p = 18$

$p = -6$

よって、$\alpha\beta\gamma = -6$

3次方程式 $x^3 - (\alpha+\beta+\gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma = 0$ の係数を求める。

$\alpha+\beta+\gamma = 2$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -5$

$\alpha\beta\gamma = -6$

よって、3次方程式は $x^3 - 2x^2 -5x - (-6) = 0$

すなわち、$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$

与えられた形 $x^3 + Ax^2 + Bx + C = 0$ と比較すると、

$A = -2, B = -5, C = 6$

3. 最終的な答え

$A = -2$

$B = -5$

$C = 6$