次の2つの問題について、曲線と直線で囲まれた部分の面積$S$を求める。 (1) $y^2 = x-1$, $y$軸, $y=1$, $y=3$ (2) $x = y^2 + 2$, $y$軸, $y=-1$, $y=2$

1. 問題の内容

次の2つの問題について、曲線と直線で囲まれた部分の面積$S$を求める。

(1) $y^2 = x-1$, $y$軸, $y=1$, $y=3$

(2) $x = y^2 + 2$, $y$軸, $y=-1$, $y=2$

2. 解き方の手順

(1) $y^2 = x-1$ を $x$ について解くと $x = y^2 + 1$ となる。

面積$S$は $y$軸、$y=1$, $y=3$で囲まれているため、$y$について積分を行う。

積分範囲は$1 \le y \le 3$ である。

面積 $S$ は、以下の積分で求められる。

$S = \int_1^3 (y^2+1) \, dy$

$S = \left[ \frac{y^3}{3} + y \right]_1^3 = \left( \frac{3^3}{3} + 3 \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) = (9+3) - (\frac{1}{3} + 1) = 12 - \frac{4}{3} = \frac{36-4}{3} = \frac{32}{3}$

(2) $x = y^2+2$ と $y$軸, $y=-1$ と $y=2$で囲まれた部分の面積$S$を求める。

積分範囲は $-1 \le y \le 2$ である。

面積 $S$ は、以下の積分で求められる。

$S = \int_{-1}^2 (y^2+2) \, dy$

$S = \left[ \frac{y^3}{3} + 2y \right]_{-1}^2 = \left( \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + 2(-1) \right) = \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 2 \right) = \frac{8}{3} + 4 + \frac{1}{3} + 2 = \frac{9}{3} + 6 = 3 + 6 = 9$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{32}{3}$

(2) $S = 9$