$n$ を自然数とするとき、$y = \cos x$ の第 $2n$ 次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$y = \cos x$ の第 $2n$ 次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \cos x$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つける。

$y = \cos x$

$y' = -\sin x$

$y'' = -\cos x$

$y''' = \sin x$

$y^{(4)} = \cos x$

したがって、4回微分するごとに元の関数に戻る。

$y^{(4)} = y$

第$2n$次導関数を求めるので、$2n$ を $4$ で割った余りで考える。

$2n = 4q + r$ ($q$ は整数、$r$ は $0, 1, 2, 3$ のいずれか) と表せる。

$y^{(2n)} = y^{(4q+r)} = y^{(r)}$

$y^{(2n)} = \cos x$ を $2n$ 回微分することは、 $\cos x$ を $r$ 回微分することと同じになる。

$2n$ は偶数なので、$2n = 4q + r$ と表したとき、$r$ は偶数である。したがって、$r = 0$ または $r = 2$。

(i) $r = 0$ のとき、$2n = 4q$ なので、$n = 2q$ (すなわち、$n$ が偶数のとき)。

$y^{(2n)} = y^{(0)} = \cos x$

(ii) $r = 2$ のとき、$2n = 4q + 2$ なので、$n = 2q + 1$ (すなわち、$n$ が奇数のとき)。

$y^{(2n)} = y^{(2)} = -\cos x$

場合分けをせずに表すことを考える。

$y^{(2n)} = (-1)^n \cos x$

3. 最終的な答え

$(-1)^n \cos x$