極限 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x$ が $2$ に近づくとき、分子と分母はともに $0$ に近づくため、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。

そこで、分子の有理化を行います。

まず、与えられた式を次のように書きます。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}$

分子を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{x+7}+3$ を掛けます。

$\lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}$

分子を展開すると、次のようになります。

$\lim_{x \to 2} \frac{(x+7)-9}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}$

整理すると、次のようになります。

$\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}$

$x \neq 2$ のとき、$(x-2)$ で約分できます。

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7}+3}$

$x \to 2$ の極限を計算します。

$\frac{1}{\sqrt{2+7}+3} = \frac{1}{\sqrt{9}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$