与えられた3x3行列の行列式を、(1)行列式の定義に従い第1行で展開する方法と、(2)行列式の性質を使う方法の2通りで計算し、結果が一致することを確認する。行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 6 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 6 \\ 4 & 6 & 2 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を、(1)行列式の定義に従い第1行で展開する方法と、(2)行列式の性質を使う方法の2通りで計算し、結果が一致することを確認する。行列は次の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

6 & 2 & 4 \\

2 & 4 & 6 \\

4 & 6 & 2

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

(1) 行列式の定義に従い、第1行で展開する。

第1行での展開公式は次の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}

$$

与えられた行列に適用すると次のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

6 & 2 & 4 \\

2 & 4 & 6 \\

4 & 6 & 2

\end{vmatrix} = 6 \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}

$$

それぞれの2x2行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = (4 \times 2) - (6 \times 6) = 8 - 36 = -28

$$

$$

\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = (2 \times 2) - (6 \times 4) = 4 - 24 = -20

$$

$$

\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = (2 \times 6) - (4 \times 4) = 12 - 16 = -4

$$

これらの値を代入して、行列式を計算します。

$$

6(-28) - 2(-20) + 4(-4) = -168 + 40 - 16 = -144

$$

(2) 行列式の性質を使う。

行列式の性質を利用して計算を簡略化します。

まず、1列目の2倍を3列目から引きます。

$$

\begin{vmatrix}

6 & 2 & 4 \\

2 & 4 & 6 \\

4 & 6 & 2

\end{vmatrix}

\rightarrow

\begin{vmatrix}

6 & 2 & 4-2*6 \\

2 & 4 & 6-2*2 \\

4 & 6 & 2-2*4

\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}

6 & 2 & -8 \\

2 & 4 & 2 \\

4 & 6 & -6

\end{vmatrix}

$$

次に、1行目の要素を2で割ります。これは、行列式の値を2倍にすることを意味します。後で補正するため、$1/2$をかけておきます。

また、2列目の要素を2で割ります。これは、行列式の値を2倍にすることを意味します。後で補正するため、$1/2$をかけておきます。

$$

\begin{vmatrix}

6 & 2 & -8 \\

2 & 4 & 2 \\

4 & 6 & -6

\end{vmatrix} = 2 * 2 *

\begin{vmatrix}

3 & 1 & -4 \\

1 & 2 & 1 \\

2 & 3 & -3

\end{vmatrix}

$$

$$

4 * [3 * (-6 - 3) - 1 * (-3 - 2) + (-4) * (3 - 4) ]

=4 * [3 * (-9) - 1 * (-5) + (-4) * (-1) ]

=4 * [-27 + 5 + 4] = 4 * [-18] = -72

$$

最初に $1/2 * 1/2$ をかけていたので、最終的な値は

$-72 * 2 * 2 = -144$

3. 最終的な答え

(1)の方法での答え：-144

(2)の方法での答え：-144

したがって、どちらの方法でも行列式の値は-144となります。