与えられた3x3行列の行列式を、(1)行列式の定義に従って第一行で展開する方法と、(2)行列式の性質を使う方法の2通りで計算し、結果が一致することを確認する。与えられた行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 6 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 6 \\ 4 & 6 & 2 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を、(1)行列式の定義に従って第一行で展開する方法と、(2)行列式の性質を使う方法の2通りで計算し、結果が一致することを確認する。与えられた行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

6 & 2 & 4 \\

2 & 4 & 6 \\

4 & 6 & 2

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

(1) 行列式の定義に従って第1行で展開する

行列式を第1行で展開すると以下のようになります。

$$

\begin{aligned}

\begin{vmatrix}

6 & 2 & 4 \\

2 & 4 & 6 \\

4 & 6 & 2

\end{vmatrix}

&= 6 \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} \\

&= 6(4 \cdot 2 - 6 \cdot 6) - 2(2 \cdot 2 - 6 \cdot 4) + 4(2 \cdot 6 - 4 \cdot 4) \\

&= 6(8 - 36) - 2(4 - 24) + 4(12 - 16) \\

&= 6(-28) - 2(-20) + 4(-4) \\

&= -168 + 40 - 16 \\

&= -144

\end{aligned}

$$

(2) 行列式の性質を使う

行列式の性質を利用して計算を簡単にするために、行列に以下の操作を適用します。

第2行から第1行の1/3倍を引く ($R_2 \rightarrow R_2 - \frac{1}{3}R_1$)。

第3行から第1行の2/3倍を引く ($R_3 \rightarrow R_3 - \frac{2}{3}R_1$)。

$$

\begin{vmatrix}

6 & 2 & 4 \\

2 & 4 & 6 \\

4 & 6 & 2

\end{vmatrix}

\rightarrow

\begin{vmatrix}

6 & 2 & 4 \\

0 & \frac{10}{3} & \frac{14}{3} \\

0 & \frac{14}{3} & -\frac{2}{3}

\end{vmatrix}

$$

この行列式を展開します。

$$

\begin{aligned}

\begin{vmatrix}

6 & 2 & 4 \\

0 & \frac{10}{3} & \frac{14}{3} \\

0 & \frac{14}{3} & -\frac{2}{3}

\end{vmatrix}

&= 6 \begin{vmatrix} \frac{10}{3} & \frac{14}{3} \\ \frac{14}{3} & -\frac{2}{3} \end{vmatrix} \\

&= 6 \left( \frac{10}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) - \frac{14}{3} \cdot \frac{14}{3} \right) \\

&= 6 \left( -\frac{20}{9} - \frac{196}{9} \right) \\

&= 6 \left( -\frac{216}{9} \right) \\

&= 6(-24) \\

&= -144

\end{aligned}

$$

3. 最終的な答え

(1)の方法でも(2)の方法でも、行列式の値は-144となりました。

最終的な答え：-144