二次方程式 $-x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

二次方程式 $-x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、二次方程式を整理します。

$-x^2 + 2x + 5 = 0$ の両辺に -1 をかけると、

$x^2 - 2x - 5 = 0$

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha\beta = -5$

次に、$\alpha^3 + \beta^3$ を $(\alpha + \beta)$ と $(\alpha\beta)$ を用いて表します。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

ここに、$\alpha + \beta = 2$ と $\alpha\beta = -5$ を代入します。

$\alpha^3 + \beta^3 = (2)^3 - 3(-5)(2)$

$\alpha^3 + \beta^3 = 8 + 30$

$\alpha^3 + \beta^3 = 38$

3. 最終的な答え

38