$(x^2+2x)+(y^2+y)=1$

## 問題の内容

与えられた3つの円の方程式を、それぞれ標準形 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ に変形し、円の中心 $(a,b)$ と半径 $r$ を求める問題です。

(2) $x^2+y^2+2x+y-1=0$

(3) $x^2+y^2+8x-10y+41=0$

(4) $x^2+y^2+12x+6y+50=0$

## 解き方の手順

**基本的な考え方：** 平方完成を行うことで、与えられた方程式を標準形に変形します。

**(2) $x^2+y^2+2x+y-1=0$**

1. $x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめます。

$(x^2+2x)+(y^2+y)=1$

2. $x$ の項と $y$ の項をそれぞれ平方完成します。

$(x^2+2x+1) + (y^2+y+\frac{1}{4}) = 1 + 1 + \frac{1}{4}$

$(x+1)^2 + (y+\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4}$

3. 標準形に変形できました。中心と半径を読み取ります。

**(3) $x^2+y^2+8x-10y+41=0$**

1. $x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめます。

$(x^2+8x)+(y^2-10y)=-41$

2. $x$ の項と $y$ の項をそれぞれ平方完成します。

$(x^2+8x+16) + (y^2-10y+25) = -41 + 16 + 25$

$(x+4)^2 + (y-5)^2 = 0$

3. 標準形に変形できました。中心と半径を読み取ります。

**(4) $x^2+y^2+12x+6y+50=0$**

1. $x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめます。

$(x^2+12x)+(y^2+6y)=-50$

2. $x$ の項と $y$ の項をそれぞれ平方完成します。

$(x^2+12x+36) + (y^2+6y+9) = -50 + 36 + 9$

$(x+6)^2 + (y+3)^2 = -5$

3. 標準形に変形できました。半径の二乗が負になるため、この方程式は円を表しません。

## 最終的な答え

(2) $(x+1)^2 + (y+\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4}$

中心: $(-1, -\frac{1}{2})$, 半径: $\frac{3}{2}$

(3) $(x+4)^2 + (y-5)^2 = 0$

中心: $(-4, 5)$, 半径: $0$ (点)

(4) $(x+6)^2 + (y+3)^2 = -5$

円が存在しない