複素数 $z = 1 + i$ を原点の周りに60°回転させた点を表す複素数 $\alpha$ を求め、与えられた形式で答えよ。

1. 問題の内容

複素数 $z = 1 + i$ を原点の周りに60°回転させた点を表す複素数 $\alpha$ を求め、与えられた形式で答えよ。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $\theta$ (ラジアン) だけ回転させることは、$z$ に $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ をかけることに相当します。

今回は $\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ ですから、回転させる複素数は

$e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

となります。

したがって、$\alpha = z \cdot e^{i\frac{\pi}{3}} = (1 + i)(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

したがって、

$\alpha = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}i$

となります。

3. 最終的な答え

$\alpha = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}i$