$x, y, z$ は実数とする。次の条件のうち、$x = y$ と同値な条件をすべて選ぶ問題である。

1. 問題の内容

$x, y, z$ は実数とする。次の条件のうち、$x = y$ と同値な条件をすべて選ぶ問題である。

2. 解き方の手順

与えられた条件が、$x = y$ と同値であるかを確認する。

1. $x + z = y + z$

両辺から $z$ を引くと、$x = y$ となる。したがって、この条件は $x = y$ と同値である。

2. $xz = yz$

$xz - yz = 0$ より、$z(x - y) = 0$ となる。

$z = 0$ または $x = y$ である。

$z = 0$ の場合、$x$ と $y$ は任意の実数になるため、$x = y$ とは限らない。例えば、$x=1, y=2, z=0$のとき、$xz = yz = 0$ となるが、$x \neq y$ である。したがって、この条件は $x = y$ と同値ではない。

3. $x^2 = y^2$

$x^2 - y^2 = 0$ より、$(x - y)(x + y) = 0$ となる。

$x - y = 0$ または $x + y = 0$ である。

$x = y$ または $x = -y$ である。

$x = -y$ の場合、$x$ と $y$ の符号が異なっても成り立つので、$x = y$ とは限らない。

例えば、$x=1, y=-1$のとき、$x^2 = y^2 = 1$ となるが、$x \neq y$ である。したがって、この条件は $x = y$ と同値ではない。

4. $(x - y)^2 = 0$

$(x - y)^2 = 0$ より、$x - y = 0$ となる。したがって、$x = y$ である。この条件は $x = y$ と同値である。

3. 最終的な答え

1と4