与えられた数列が群に分けられており、第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求める問題です。数列は $1, 3, 5, 7, 9, 11, (13, 15, 17, 19, 21, 23), 25, ...$ のように続いています。第1群は $(1, 3)$、第2群は $(5, 7, 9, 11)$、第3群は $(13, 15, 17, 19, 21, 23)$ のように分けられています。

1. 問題の内容

与えられた数列が群に分けられており、第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求める問題です。数列は $1, 3, 5, 7, 9, 11, (13, 15, 17, 19, 21, 23), 25, ...$ のように続いています。第1群は $(1, 3)$、第2群は $(5, 7, 9, 11)$、第3群は $(13, 15, 17, 19, 21, 23)$ のように分けられています。

2. 解き方の手順

数列全体は奇数の列であり、初項1、公差2の等差数列です。第$n$群には$2n$個の項が含まれます。第$n$群の最初の項を求めます。

まず、第 $n$ 群の直前の群までの項数を考えます。これは、第1群から第$(n-1)$群までの項数の合計です。

$$2(1 + 2 + \dots + (n-1)) = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1) = n^2 - n$$

数列全体の第$k$項は、$2k-1$で表されます。よって、第$n$群の最初の項は、数列全体の第$(n^2-n+1)$番目の項です。したがって、第$n$群の最初の項 $a$ は、

$$a = 2(n^2 - n + 1) - 1 = 2n^2 - 2n + 2 - 1 = 2n^2 - 2n + 1$$

第$n$群には $2n$ 個の項が含まれるので、第$n$群の最後の項は、数列全体の第$(n^2-n+2n)$番目、つまり第$(n^2+n)$番目の項です。したがって、第$n$群の最後の項 $l$ は、

$$l = 2(n^2 + n) - 1 = 2n^2 + 2n - 1$$

第$n$群の項の和 $S$ は、等差数列の和の公式を用いて求められます。

$$S = \frac{\text{項数}}{2} (\text{最初の項} + \text{最後の項}) = \frac{2n}{2} (a + l)$$

$$S = n (2n^2 - 2n + 1 + 2n^2 + 2n - 1) = n (4n^2) = 4n^3$$

3. 最終的な答え

第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ は、

$S = 4n^3$