$x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6$ を因数分解してください。

はい、承知いたしました。問題の画像にある式の因数分解を行います。

まず、7番の(1)の問題を解きます。

1. 問題の内容

$x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 - (y+1)x - (2y^2 + 7y + 6)$

次に、定数項を因数分解します。

$2y^2 + 7y + 6 = (2y+3)(y+2)$

したがって、

$x^2 - (y+1)x - (2y+3)(y+2)$

これを因数分解すると、

$(x - (2y+3))(x + (y+2))$

$= (x - 2y - 3)(x + y + 2)$

3. 最終的な答え

$(x - 2y - 3)(x + y + 2)$

次に、7番の(2)の問題を解きます。

1. 問題の内容

$3x^2 + 7xy + 2y^2 - 5x - 5y + 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$3x^2 + 7xy + 2y^2$ の部分を因数分解します。

$3x^2 + 7xy + 2y^2 = (3x + y)(x + 2y)$

したがって、式全体は

$(3x + y)(x + 2y) - 5x - 5y + 2$

$=(3x + y)(x + 2y) - 5(x + y) + 2$

ここで、式全体が $(3x+y+a)(x+2y+b)$ の形になると仮定して、$a, b$を求める。

$(3x+y+a)(x+2y+b) = 3x^2 + 6xy + 3bx + xy + 2y^2 + by + ax + 2ay + ab$

$= 3x^2 + 7xy + 2y^2 + (3b+a)x + (b+2a)y + ab$

これと $3x^2 + 7xy + 2y^2 - 5x - 5y + 2$ を比較すると、

$3b+a = -5$

$b+2a = -5$

$ab = 2$

これを解くと、$a = -1, b = -2$

したがって、$(3x + y - 1)(x + 2y - 2)$

3. 最終的な答え

$(3x + y - 1)(x + 2y - 2)$

次に、8番の(1)の問題を解きます。

1. 問題の内容

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与式は、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開したものになっています。

実際に展開してみると、

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a)$

$= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$

次に、8番の(2)の問題を解きます。

1. 問題の内容

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + c^2a - c^2b$

$a$ について整理すると、

$(b-c)a^2 - (b^2 - c^2)a + (b^2c - bc^2) = (b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)$

$= (b-c)[a^2 - (b+c)a + bc] = (b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

次に、9番の(1)の問題を解きます。

1. 問題の内容

$x^4 + 4x^2 + 16$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$x^4 + 4x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16 - 4x^2 = (x^2+4)^2 - (2x)^2 = (x^2+4+2x)(x^2+4-2x) = (x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$

3. 最終的な答え

$(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$

次に、9番の(2)の問題を解きます。

1. 問題の内容

$x^4 - 7x^2y^2 + y^4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$x^4 - 7x^2y^2 + y^4 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 5x^2y^2 = (x^2 - y^2)^2 - 5x^2y^2 = (x^2-y^2)^2 - (\sqrt{5}xy)^2 = (x^2 - \sqrt{5}xy - y^2)(x^2 + \sqrt{5}xy - y^2)$

$x^4 - 7x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 9x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (3xy)^2 = (x^2 - 3xy + y^2)(x^2 + 3xy + y^2)$

3. 最終的な答え

$(x^2 - 3xy + y^2)(x^2 + 3xy + y^2)$

次に、9番の(3)の問題を解きます。

1. 問題の内容

$4x^4 + 1$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$4x^4 + 1 = 4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^2 = (2x^2 + 1)^2 - (2x)^2 = (2x^2 + 1 + 2x)(2x^2 + 1 - 2x) = (2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$