画像にはいくつかの数学の問題が記載されています。ここでは、10番の問題を解きます。 (1) $(a-b)^2 - c(b-a)$ を因数分解せよ。 (2) 2次方程式 $2x^2 - x + k = 0$ が $x = 2$ を解にもつとき、定数 $k$ の値を求めよ。また、この2次方程式の他の解を求めよ。 (3) 2次方程式 $4x^2 + (a+2)x + 1 = 0$ が重解をもつとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

画像にはいくつかの数学の問題が記載されています。ここでは、10番の問題を解きます。

(1) $(a-b)^2 - c(b-a)$ を因数分解せよ。

(2) 2次方程式 $2x^2 - x + k = 0$ が $x = 2$ を解にもつとき、定数 $k$ の値を求めよ。また、この2次方程式の他の解を求めよ。

(3) 2次方程式 $4x^2 + (a+2)x + 1 = 0$ が重解をもつとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解:

まず、$b-a$ を $- (a-b)$ と書き換えます。

$(a-b)^2 - c(b-a) = (a-b)^2 + c(a-b)$

$a-b$ で括ると、

$(a-b)(a-b+c)$

(2) $k$ の値を求める:

$x = 2$ が $2x^2 - x + k = 0$ の解なので、 $x$ に $2$ を代入すると、

$2(2)^2 - 2 + k = 0$

$8 - 2 + k = 0$

$6 + k = 0$

$k = -6$

他の解を求める:

2次方程式は $2x^2 - x - 6 = 0$ となります。因数分解すると、

$(2x + 3)(x - 2) = 0$

したがって、解は $x = 2$ と $x = -\frac{3}{2}$

(3) 重解を持つ条件:

2次方程式 $4x^2 + (a+2)x + 1 = 0$ が重解を持つためには、判別式 $D$ が $0$ になる必要があります。

$D = (a+2)^2 - 4(4)(1) = 0$

$(a+2)^2 - 16 = 0$

$(a+2)^2 = 16$

$a+2 = \pm 4$

$a = -2 \pm 4$

$a = 2, -6$

3. 最終的な答え

(1) $(a-b)(a-b+c)$

(2) $k = -6$, 他の解は $x = -\frac{3}{2}$

(3) $a = 2, -6$