二次方程式 $4x^2 + 2(a-1)x + 1-a = 0$ が重解を持つように、定数 $a$ の値を定め、そのときの重解を求めよ。

1. 問題の内容

二次方程式 $4x^2 + 2(a-1)x + 1-a = 0$ が重解を持つように、定数 $a$ の値を定め、そのときの重解を求めよ。

2. 解き方の手順

二次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ となることです。与えられた二次方程式の判別式を計算します。

$4x^2 + 2(a-1)x + 1-a = 0$ の判別式 $D$ は、

$$D = [2(a-1)]^2 - 4 \cdot 4 \cdot (1-a)$$

$$D = 4(a^2 - 2a + 1) - 16(1-a)$$

$$D = 4a^2 - 8a + 4 - 16 + 16a$$

$$D = 4a^2 + 8a - 12$$

重解を持つためには $D = 0$ なので、

$$4a^2 + 8a - 12 = 0$$

$$a^2 + 2a - 3 = 0$$

$$(a+3)(a-1) = 0$$

よって、$a = -3$ または $a = 1$ です。

(i) $a = -3$ のとき、方程式は $4x^2 + 2(-3-1)x + 1-(-3) = 0$ となり、

$4x^2 - 8x + 4 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$ (重解)

(ii) $a = 1$ のとき、方程式は $4x^2 + 2(1-1)x + 1-1 = 0$ となり、

$4x^2 = 0$

$x^2 = 0$

$x = 0$ (重解)

3. 最終的な答え

$a = -3$ のとき、重解は $x=1$

$a = 1$ のとき、重解は $x=0$