$W_1$と$W_2$を$\mathbb{R}^4$の部分空間とするとき、$W_1 \cap W_2$の基底と$W_1 + W_2$の次元を求める。 $W_1 = \langle \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix} \rangle$ $W_2 = \langle \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \rangle$

1. 問題の内容

$W_1$と$W_2$を$\mathbb{R}^4$の部分空間とするとき、$W_1 \cap W_2$の基底と$W_1 + W_2$の次元を求める。

$W_1 = \langle \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix} \rangle$

$W_2 = \langle \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \rangle$

2. 解き方の手順

まず、$W_1 \cap W_2$ の基底を求める。

$W_1 \cap W_2$ に属する任意のベクトルは、ある実数 $a, b, c, d$ を用いて、

$a \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

と表せる。これを成分ごとに書くと、

$2a + 2b = 2c + d$

$a - b = c + d$

$a - 3b = -2c$

$2b = 3c + d$

これらの式を行列で表すと

$\begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この連立一次方程式を解く。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 & -1 \\ 1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -3 & -1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & -3 & -1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 6 & 3 \\ 0 & 0 & -6 & -3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

よって、$2c = -d$, $4b = -d$ なので、$d = -2c$, $b = -\frac{1}{4} d = \frac{1}{2} c$.

$a - b - c - d = 0$ より $a = b + c + d = \frac{1}{2}c + c -2c = -\frac{1}{2} c$.

$a = -\frac{1}{2}c$, $b = \frac{1}{2}c$, $d = -2c$

$a \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2}c \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} c \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$

したがって、$W_1 \cap W_2 = \langle \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \rangle$ であり、その基底は$\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ である。よって、$\dim(W_1 \cap W_2) = 1$。

次に、$W_1 + W_2$ の次元を求める。

$\dim(W_1 + W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 \cap W_2)$

$\dim(W_1) = 2$、$W_1$ の基底は $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}$

$\dim(W_2) = 2$、$W_2$ の基底は $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\dim(W_1 \cap W_2) = 1$

よって、$\dim(W_1 + W_2) = 2 + 2 - 1 = 3$

3. 最終的な答え

$W_1 \cap W_2$ の基底: $\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$

$W_1 + W_2$ の次元: 3