条件 $3x+2y=2$, $x \geq 0$, $y \geq 0$ のもとで、$x^2+4y^2$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

以下に、問題07の解答を示します。

1. 問題の内容

条件 $3x+2y=2$, $x \geq 0$, $y \geq 0$ のもとで、$x^2+4y^2$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$3x+2y=2$ より、$y = \frac{2-3x}{2}$ である。$y \geq 0$ より、$2-3x \geq 0$ なので、$x \leq \frac{2}{3}$ である。したがって、$0 \leq x \leq \frac{2}{3}$ である。

$x^2+4y^2$ に $y = \frac{2-3x}{2}$ を代入すると、

\begin{align*}

x^2+4y^2 &= x^2 + 4 \left( \frac{2-3x}{2} \right)^2 \\

&= x^2 + (2-3x)^2 \\

&= x^2 + 4 - 12x + 9x^2 \\

&= 10x^2 - 12x + 4

\end{align*}

$f(x) = 10x^2 - 12x + 4$ とおくと、

\begin{align*}

f(x) &= 10 \left( x^2 - \frac{6}{5}x \right) + 4 \\

&= 10 \left( \left( x - \frac{3}{5} \right)^2 - \frac{9}{25} \right) + 4 \\

&= 10 \left( x - \frac{3}{5} \right)^2 - \frac{18}{5} + 4 \\

&= 10 \left( x - \frac{3}{5} \right)^2 + \frac{2}{5}

\end{align*}

したがって、$f(x)$ は $x=\frac{3}{5}$ で最小値 $\frac{2}{5}$ をとる。

$x = 0$ のとき、$f(0) = 4$ である。

$x = \frac{2}{3}$ のとき、$f(\frac{2}{3}) = 10 \left( \frac{4}{9} \right) - 12 \left( \frac{2}{3} \right) + 4 = \frac{40}{9} - 8 + 4 = \frac{40}{9} - 4 = \frac{40-36}{9} = \frac{4}{9}$ である。

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で最大値 $4$ をとる。

$x = \frac{3}{5}$ のとき、$y = \frac{2-3(\frac{3}{5})}{2} = \frac{2-\frac{9}{5}}{2} = \frac{\frac{10-9}{5}}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{2} = \frac{1}{10}$

$x = 0$ のとき、$y = \frac{2-3(0)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

最大値：$4$ ($x=0, y=1$ のとき)

最小値：$\frac{2}{5}$ ($x=\frac{3}{5}, y=\frac{1}{10}$ のとき)