3次式 $x^3 - 4x^2 - 14x - 4$ を有理数の範囲で因数分解せよ。

1. 問題の内容

3次式 $x^3 - 4x^2 - 14x - 4$ を有理数の範囲で因数分解せよ。

2. 解き方の手順

有理根定理より、この3次式の有理数解の候補は、定数項の約数 ($\pm 1, \pm 2, \pm 4$) を最高次の係数 (1) で割ったもの、つまり $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ です。これらの値を $x$ に代入して、$x^3 - 4x^2 - 14x - 4 = 0$ となるものがあるか調べます。

- $x = 1$ のとき: $1 - 4 - 14 - 4 = -21 \neq 0$

- $x = -1$ のとき: $-1 - 4 + 14 - 4 = 5 \neq 0$

- $x = 2$ のとき: $8 - 16 - 28 - 4 = -40 \neq 0$

- $x = -2$ のとき: $-8 - 16 + 28 - 4 = 0$

$x = -2$ が解であることがわかったので、$x + 2$ を因数に持ちます。そこで、与式を $x + 2$ で割ります。

```

x^2 - 6x - 2

x + 2 | x^3 - 4x^2 - 14x - 4

x^3 + 2x^2

-------------

-6x^2 - 14x

-6x^2 - 12x

-------------

-2x - 4

-2x - 4

-------------

0

```

したがって、$x^3 - 4x^2 - 14x - 4 = (x + 2)(x^2 - 6x - 2)$ となります。

次に、$x^2 - 6x - 2$ が因数分解できるか調べます。判別式 $D = (-6)^2 - 4(1)(-2) = 36 + 8 = 44$ は平方数ではないので、$x^2 - 6x - 2$ は有理数の範囲で因数分解できません。

3. 最終的な答え

$(x + 2)(x^2 - 6x - 2)$