3次方程式 $x^3 + ax^2 - 3x + b = 0$ が、$2+i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 - 3x + b = 0$ が、$2+i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $2+i$ が解であるとき、共役複素数である $2-i$ も解となります（係数が実数であるため）。

(2) もう一つの解を $\alpha$ とおくと、解と係数の関係より以下の式が成り立ちます。

和：$(2+i) + (2-i) + \alpha = -a$

2つずつの積の和：$(2+i)(2-i) + (2+i)\alpha + (2-i)\alpha = -3$

積：$(2+i)(2-i)\alpha = -b$

(3) 2つずつの積の和の式を計算します。

$(2+i)(2-i) + (2+i)\alpha + (2-i)\alpha = 4 - i^2 + 2\alpha + i\alpha + 2\alpha - i\alpha = 5 + 4\alpha = -3$

よって、 $4\alpha = -8$ となり、 $\alpha = -2$ が得られます。

(4) 和の式から $a$ を求めます。

$(2+i) + (2-i) + (-2) = 2 = -a$

よって、$a = -2$

(5) 積の式から $b$ を求めます。

$(2+i)(2-i)(-2) = 5(-2) = -10 = -b$

よって、$b = 10$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 10$

他の解: $-2$