与えられた4x4行列Aの行列式を求める問題です。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 4 \\ 5 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 8 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列Aの行列式を求める問題です。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 4 \\ 5 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 8 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず第2列に注目すると、0, 3, 0, 7という要素があります。

したがって、第2列で余因子展開をすることにします。

$\det(A) = 0 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{22} + 0 \cdot C_{32} + 7 \cdot C_{42}$

ここで、$C_{ij}$は(i, j)要素の余因子を表します。

したがって、

$\det(A) = 3 \cdot C_{22} + 7 \cdot C_{42}$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 5 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 6 - 5 \cdot 2) \cdot 8 = 8 (6-10) = 8 (-4) = -32$

$C_{42} = (-1)^{4+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-4) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = -4 (6-10) = -4 (-4) = 16$

したがって、

$\det(A) = 3 \cdot (-32) + 7 \cdot 16 = -96 + 112 = 16$

3. 最終的な答え

16