与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ ($\lambda_1 < \lambda_2$) を求める。 (2) 各固有値に対応する固有ベクトル $\vec{p_1}, \vec{p_2}$ を求め、行列 $P = (\vec{p_1}, \vec{p_2})$ を作成する。ただし、$P$ の対角成分は1とする。 (3) $P^{-1}AP = D$ となる対角行列 $D$ を求める。 (4) $D^{-1}$を求める。 (5) $A^n$ を求める。 (6) $A^{-n}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ ($\lambda_1 < \lambda_2$) を求める。

(2) 各固有値に対応する固有ベクトル $\vec{p_1}, \vec{p_2}$ を求め、行列 $P = (\vec{p_1}, \vec{p_2})$ を作成する。ただし、$P$ の対角成分は1とする。

(3) $P^{-1}AP = D$ となる対角行列 $D$ を求める。

(4) $D^{-1}$を求める。

(5) $A^n$ を求める。

(6) $A^{-n}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。

特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解く。

$\begin{vmatrix} 7-\lambda & -4 \\ 2 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (7-\lambda)(1-\lambda) - (-4)(2) = \lambda^2 - 8\lambda + 7 + 8 = \lambda^2 - 8\lambda + 15 = (\lambda - 3)(\lambda - 5) = 0$

$\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 5$

(2) 固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 3$ のとき、 $(A - 3I)\vec{p_1} = 0$

$\begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x = y$ である。対角成分を1とするため、$\vec{p_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = 5$ のとき、 $(A - 5I)\vec{p_2} = 0$

$\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x = 2y$ である。対角成分を1とするため、$\vec{p_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$P^{-1}$を求める。

$P^{-1} = \frac{1}{(1)(1)-(2)(1)}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

(3) $D$を求める。

$D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ 5 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$

(4) $D^{-1}$を求める。

$D^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 \\ 0 & 1/5 \end{pmatrix}$

(5) $A^n$を求める。

$A^n = PD^nP^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & 5^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3^n & 2 \cdot 5^n \\ 3^n & 5^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3^n + 2 \cdot 5^n & 2 \cdot 3^n - 2 \cdot 5^n \\ -3^n + 5^n & 2 \cdot 3^n - 5^n \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} -1 \cdot 3^n + 2 \cdot 5^n & 2 \cdot 3^n - 2 \cdot 5^n \\ -1 \cdot 3^n + 1 \cdot 5^n & 2 \cdot 3^n - 1 \cdot 5^n \end{pmatrix}$

$a_{11} = -1, b_{11} = 2, a_{12} = 2, b_{12} = -2, a_{21} = -1, b_{21} = 1, a_{22} = 2, b_{22} = -1$

(6) $A^{-n}$を求める。

$A^{-n} = PD^{-n}P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (1/3)^n & 0 \\ 0 & (1/5)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1/3)^n & 2(1/5)^n \\ (1/3)^n & (1/5)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(1/3)^n + 2(1/5)^n & 2(1/3)^n - 2(1/5)^n \\ -(1/3)^n + (1/5)^n & 2(1/3)^n - (1/5)^n \end{pmatrix}$

$\mu_1 = 1/3, \mu_2 = 1/5$

3. 最終的な答え

$\lambda_1 = 3$

$\lambda_2 = 5$

$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$

$D^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 \\ 0 & 1/5 \end{pmatrix}$

$a_{11} = -1, b_{11} = 2, a_{12} = 2, b_{12} = -2, a_{21} = -1, b_{21} = 1, a_{22} = 2, b_{22} = -1$

$\mu_1 = 1/3$

$\mu_2 = 1/5$