与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -5 & -10 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。 * $A$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ ($\lambda_1 < \lambda_2$) を求めます。 * 対応する固有ベクトルを $p_1, p_2$ とし、$P = (p_1, p_2)$ となる行列 $P$ を求めます。ただし、$P$ の対角成分は1とします。 * $P^{-1}AP = D$ となる対角行列 $D$ を求めます。 * $A^n$ ($n \in \mathbb{N}$) を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -5 & -10 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。

* $A$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ ($\lambda_1 < \lambda_2$) を求めます。

* 対応する固有ベクトルを $p_1, p_2$ とし、$P = (p_1, p_2)$ となる行列 $P$ を求めます。ただし、$P$ の対角成分は1とします。

* $P^{-1}AP = D$ となる対角行列 $D$ を求めます。

* $A^n$ ($n \in \mathbb{N}$) を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める

$A$ の固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。

$\begin{vmatrix} 5 - \lambda & 10 \\ -5 & -10 - \lambda \end{vmatrix} = (5 - \lambda)(-10 - \lambda) - (10)(-5) = 0$

$-50 - 5\lambda + 10\lambda + \lambda^2 + 50 = 0$

$\lambda^2 + 5\lambda = 0$

$\lambda(\lambda + 5) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = -5, \lambda_2 = 0$ です。

(2) 固有ベクトルを求める

$\lambda_1 = -5$ に対する固有ベクトル $p_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は、$(A - \lambda_1 I)p_1 = 0$ を満たします。

$\begin{pmatrix} 5 - (-5) & 10 \\ -5 & -10 - (-5) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 10 \\ -5 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$10x + 10y = 0$ より $x = -y$ です。$P$の対角成分は1なので、$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$と規格化すると、$p_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となります。

$\lambda_2 = 0$ に対する固有ベクトル $p_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は、$(A - \lambda_2 I)p_2 = 0$ を満たします。

$\begin{pmatrix} 5 - 0 & 10 \\ -5 & -10 - 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -5 & -10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$5x + 10y = 0$ より $x = -2y$ です。$P$の対角成分は1なので、$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$と規格化すると、$p_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$とはなりません。$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$とすると、$p_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。

したがって、$P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ です。

(3) $P^{-1}$ を求める

$P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $P^{-1}$ は、

$P^{-1} = \frac{1}{(1)(1) - (-2)(-1)} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{1 - 2} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

(4) 対角行列 $D$ を求める

$D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

(5) $A^n$ を求める

$A = PDP^{-1}$ より、$A^n = PD^nP^{-1}$ です。

$D^n = \begin{pmatrix} (-5)^n & 0 \\ 0 & 0^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-5)^n & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-5)^n & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} (-5)^n & 0 \\ -(-5)^n & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(-5)^n & -2(-5)^n \\ (-5)^n & 2(-5)^n \end{pmatrix} = (-5)^n \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

したがって、$a_{11} = -(-5)^n$, $a_{12} = -2(-5)^n$, $a_{21} = (-5)^n$, $a_{22} = 2(-5)^n$

3. 最終的な答え

$\lambda_1 = -5$

$\lambda_2 = 0$

$P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

$P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

$D = \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$a_{11} = -(-5)^n$

$a_{12} = -2(-5)^n$

$a_{21} = (-5)^n$

$a_{22} = 2(-5)^n$