3次方程式 $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ を解きなさい。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ を解きなさい。

2. 解き方の手順

まずは、整数解を探します。整数解の候補は定数項の約数であるため、$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ を試してみます。

$x = 1$ のとき、$1^3 - 1^2 + 1 - 6 = -5 \neq 0$

$x = -1$ のとき、$(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - 6 = -9 \neq 0$

$x = 2$ のとき、$2^3 - 2^2 + 2 - 6 = 8 - 4 + 2 - 6 = 0$

よって、$x = 2$ は解の一つです。

したがって、$x^3 - x^2 + x - 6$ は $x - 2$ を因数に持ちます。

組み立て除法を用いて、$x^3 - x^2 + x - 6$ を $x - 2$ で割ります。

```

1 -1 1 -6

2| 2 2 6

------------------

1 1 3 0

```

結果、$x^3 - x^2 + x - 6 = (x - 2)(x^2 + x + 3)$ と因数分解できます。

次に、$x^2 + x + 3 = 0$ を解きます。これは2次方程式なので、解の公式を用います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で、$a = 1$, $b = 1$, $c = 3$ なので、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$

したがって、解は $x = 2, \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$2, \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$