3次方程式 $x^3 + ax^2 + x + b = 0$ が $x=2$ と $x=3$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と、残りの解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + x + b = 0$ が $x=2$ と $x=3$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と、残りの解を求めよ。

2. 解き方の手順

$x=2$ と $x=3$ が解であることから、

$x=2$ を代入すると $2^3 + a(2^2) + 2 + b = 0$ より、 $8 + 4a + 2 + b = 0$ すなわち $4a + b = -10$。

$x=3$ を代入すると $3^3 + a(3^2) + 3 + b = 0$ より、 $27 + 9a + 3 + b = 0$ すなわち $9a + b = -30$。

これら二つの式を連立方程式として解く。

$9a + b = -30$ から $4a + b = -10$ を引くと $5a = -20$ より $a = -4$。

$4a + b = -10$ に $a = -4$ を代入すると $4(-4) + b = -10$ より $-16 + b = -10$ よって $b = 6$。

よって、元の3次方程式は $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$ となる。

$x=2$ と $x=3$ が解なので、$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$ で割り切れる。

実際に割り算を行うと、$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x^2 - 5x + 6)(x+1)$ となる。

したがって、$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x-2)(x-3)(x+1) = 0$ であり、解は $x = 2, 3, -1$。

したがって、$a = -4$, $b = 6$ であり、他の解は $x = -1$。

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = 6$

他の解: $-1$