与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、この式を整理します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

この式は、$(a+b)(b+c)(c+a)$を展開した式に似ていることに気づきます。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

与えられた式は、$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$ であるため、

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc + abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

しかし、これ以上整理することは難しそうです。

別の方法を試します。対称式のように見えるので、

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$ を展開すると、

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b + abc + a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

これは、与えられた式と一致します。

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$