複素数 $z_1 = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ と $z_2 = -1 + \sqrt{3}i$ が与えられています。これらの複素数を極形式に変換し、$\frac{z_1}{z_2}$ を計算し、その結果を極形式で表してください。ただし、偏角は $-180^\circ$ から $180^\circ$ の範囲で答える必要があります。

1. 問題の内容

複素数 $z_1 = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ と $z_2 = -1 + \sqrt{3}i$ が与えられています。これらの複素数を極形式に変換し、$\frac{z_1}{z_2}$ を計算し、その結果を極形式で表してください。ただし、偏角は $-180^\circ$ から $180^\circ$ の範囲で答える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$z_1$ を極形式に変換します。

$z_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

$r_1 = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$

$\theta_1 = \arctan(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}) = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$ ラジアン = $30^\circ$

よって、$z_1 = 1 (\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)$

次に、$z_2$ を極形式に変換します。

$z_2 = -1 + \sqrt{3}i$

$r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\theta_2 = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{-1}) = \arctan(-\sqrt{3})$

$z_2$ は第2象限にあるので、$\theta_2 = 120^\circ$

よって、$z_2 = 2(\cos 120^\circ + i \sin 120^\circ)$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2))$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{2} (\cos(30^\circ - 120^\circ) + i \sin(30^\circ - 120^\circ))$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{2} (\cos(-90^\circ) + i \sin(-90^\circ))$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 2

ウ: -90

エ: -90

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{2}\{\cos(-90^\circ) + i\sin(-90^\circ)\}$