複素数平面上の点 $z=5+3i$ を点 $z_0=1+i$ の周りに $30^\circ$ 回転した点 $w$ を求め、その実部と虚部を指定された形式で答える問題です。

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z=5+3i$ を点 $z_0=1+i$ の周りに $30^\circ$ 回転した点 $w$ を求め、その実部と虚部を指定された形式で答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、回転の中心が原点になるように平行移動します。

$z-z_0 = (5+3i) - (1+i) = 4+2i$

次に、複素数 $4+2i$ を $30^\circ$ 回転させるために、$e^{i \frac{\pi}{6}} = \cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ を掛けます。

$(4+2i)(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = 2\sqrt{3} + 2i + i\sqrt{3} - 1 = (2\sqrt{3} - 1) + (2+\sqrt{3})i$

最後に、回転の中心を元に戻すために平行移動します。

$w = (2\sqrt{3}-1) + (2+\sqrt{3})i + (1+i) = 2\sqrt{3} + (3+\sqrt{3})i$

したがって、$w = 2\sqrt{3} + (3+\sqrt{3})i$

ここで、指定された形式 $w = A\sqrt{B} + (C+\sqrt{D})i$ と比較すると、

$A=2$, $B=3$, $C=3$, $D=3$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：3

ウ：3

エ：3