複素数平面上の点 $Z = 3-i$ を、点 $Z_0 = 1+2i$ を中心に $45^\circ$ 回転させた点の座標 $w$ を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $Z = 3-i$ を、点 $Z_0 = 1+2i$ を中心に $45^\circ$ 回転させた点の座標 $w$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $Z$ を点 $Z_0$ を中心に $45^\circ$ 回転させるには、以下の手順で行います。

1. 点 $Z$ を $Z_0$ が原点に来るように平行移動する: $Z - Z_0$

2. 原点を中心に $45^\circ$ 回転させる: $(Z - Z_0)e^{i\frac{\pi}{4}}$

3. 平行移動した分だけ戻す: $(Z - Z_0)e^{i\frac{\pi}{4}} + Z_0$

まず、$Z - Z_0$ を計算します。

$Z - Z_0 = (3-i) - (1+2i) = 2 - 3i$

次に、$e^{i\frac{\pi}{4}}$ を計算します。これは、$cos(\frac{\pi}{4}) + i sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$(Z - Z_0)e^{i\frac{\pi}{4}} = (2-3i)(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} + i\sqrt{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2} - i^2 \frac{3\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} + i(\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}) = \frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$

最後に、平行移動した分だけ戻します。

$(Z - Z_0)e^{i\frac{\pi}{4}} + Z_0 = \frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} + (1+2i) = (1 + \frac{5\sqrt{2}}{2}) + (2 - \frac{\sqrt{2}}{2})i$

3. 最終的な答え

$w = (1 + \frac{5\sqrt{2}}{2}) + (2 - \frac{\sqrt{2}}{2})i$

ア = 1

イ = 5

ウ = 2

エ = 2

オ = 2

カ = 2

キ = 2