与えられた問題は、数列の和を求めることです。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} 4^k$ を計算します。これは、初項 $4$、公比 $4$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、数列の和を求めることです。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} 4^k$ を計算します。これは、初項 $4$、公比 $4$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を使用します。初項を $a$、公比を $r$、項数を $n$ とすると、等比数列の和 $S_n$ は次の式で表されます。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

この問題では、$a = 4$、$r = 4$ であるため、上記の公式に代入すると、

$S_n = \frac{4(4^n - 1)}{4 - 1}$

$S_n = \frac{4(4^n - 1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4(4^n - 1)}{3}$