与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} 2^{2k-1}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} 2^{2k-1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

数列の和を計算するために、まず $2^{2k-1}$ を $2^{2k} \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot (2^2)^k = \frac{1}{2} \cdot 4^k$ と変形します。

与えられた式は、

$\sum_{k=1}^{n} 2^{2k-1} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \cdot 4^k = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} 4^k$

$\sum_{k=1}^{n} 4^k$ は等比数列の和の公式を利用できます。

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ です。ここで $a=4$ , $r=4$ を代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} 4^k = \frac{4(4^n - 1)}{4-1} = \frac{4(4^n - 1)}{3}$

よって、

$\sum_{k=1}^{n} 2^{2k-1} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} 4^k = \frac{1}{2} \cdot \frac{4(4^n - 1)}{3} = \frac{2(4^n - 1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2(4^n - 1)}{3}$