問題は、$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$ を計算し、その結果が$\frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1}$に等しいことを示し、さらにその結果が$2^n - 1$になることを示すものです。要するに、等比数列の和の公式を用いて計算し、簡略化する問題です。

1. 問題の内容

問題は、$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$ を計算し、その結果が$\frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1}$に等しいことを示し、さらにその結果が$2^n - 1$になることを示すものです。要するに、等比数列の和の公式を用いて計算し、簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列が等比数列であることを確認します。この数列は、初項 $a = 2^{1-1} = 2^0 = 1$、公比 $r = 2$ の等比数列です。

等比数列の和の公式は次の通りです。

$$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$

ここで、$S_n$は初項から第n項までの和を表します。

この公式を適用すると、

$$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1}$$

分母は $2 - 1 = 1$ なので、

$$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = \frac{1(2^n - 1)}{1} = 2^n - 1$$

したがって、与えられた式は正しいことがわかります。

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 2^n - 1$