2つの不等式 $| |x-9| - 1 | \le 2$ （①）と $|x - 4| \le k$ （②）がある。ここで、$k$ は正の定数とする。 (1) 不等式①を解く。 (2) ①と②をともに満たす実数 $x$ が存在するように、$k$ の値の範囲を定める。 (3) ①の解が②の解に含まれるように、$k$ の値の範囲を定める。

1. 問題の内容

2つの不等式 $| |x-9| - 1 | \le 2$ （①）と $|x - 4| \le k$ （②）がある。ここで、$k$ は正の定数とする。

(1) 不等式①を解く。

(2) ①と②をともに満たす実数 $x$ が存在するように、$k$ の値の範囲を定める。

(3) ①の解が②の解に含まれるように、$k$ の値の範囲を定める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式①を解く。

$| |x-9| - 1 | \le 2$ を解くには、まず絶対値記号を外す。

$-2 \le |x-9| - 1 \le 2$

$-1 \le |x-9| \le 3$

$|x-9| \ge -1$ は常に成り立つので、$|x-9| \le 3$ を解けばよい。

$-3 \le x-9 \le 3$

$6 \le x \le 12$

(2) ①と②をともに満たす実数 $x$ が存在するように、$k$ の値の範囲を定める。

①の解は $6 \le x \le 12$ である。

②の解は $|x - 4| \le k$ から $-k \le x - 4 \le k$、つまり $4 - k \le x \le 4 + k$ である。

①と②をともに満たす実数 $x$ が存在するためには、$6 \le x \le 12$ と $4 - k \le x \le 4 + k$ の共通部分が存在する必要がある。

つまり、$4 - k \le 12$ かつ $4 + k \ge 6$ である必要がある。

$4 - k \le 12$ より $-k \le 8$ なので、$k \ge -8$ である。$k$ は正の定数なので、$k>0$ は常に満たされる。

$4 + k \ge 6$ より $k \ge 2$ である。

したがって、$k \ge 2$。

(3) ①の解が②の解に含まれるように、$k$ の値の範囲を定める。

①の解は $6 \le x \le 12$ である。

②の解は $4 - k \le x \le 4 + k$ である。

①の解が②の解に含まれるためには、$4 - k \le 6$ かつ $12 \le 4 + k$ である必要がある。

$4 - k \le 6$ より $-k \le 2$ なので、$k \ge -2$。$k$ は正の定数なので、$k>0$ は常に満たされる。

$12 \le 4 + k$ より $8 \le k$ なので、$k \ge 8$ である。

したがって、$k \ge 8$。

3. 最終的な答え

(1) $6 \le x \le 12$

(2) $k \ge 2$

(3) $k \ge 8$