三角形ABCがあり、$AB = 8$, $BC = 10$, $CA = 12$ である。角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。点Dで直線BCに接し、かつ点Aを通る円Oを考える。この円と辺ABとの交点のうちAでない点をEとする。また、円Oと辺ACとの交点のうちAでない点をFとする。以下の3つの長さを求めよ。 (1) 線分BDの長さ (2) 線分BEの長さ (3) 線分CFの長さ

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$AB = 8$, $BC = 10$, $CA = 12$ である。角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。点Dで直線BCに接し、かつ点Aを通る円Oを考える。この円と辺ABとの交点のうちAでない点をEとする。また、円Oと辺ACとの交点のうちAでない点をFとする。以下の3つの長さを求めよ。

(1) 線分BDの長さ

(2) 線分BEの長さ

(3) 線分CFの長さ

2. 解き方の手順

(1) 線分BDの長さ

角Aの二等分線定理より、$BD:DC = AB:AC = 8:12 = 2:3$ である。

$BC = 10$ であるから、$BD = \frac{2}{2+3} \times 10 = \frac{2}{5} \times 10 = 4$ となる。

(2) 線分BEの長さ

方べきの定理より、$BD^2 = BE \times BA$ が成り立つ。

$4^2 = BE \times 8$ であるから、$16 = 8BE$ より、$BE = 2$ となる。

(3) 線分CFの長さ

方べきの定理より、$CD^2 = CF \times CA$ が成り立つ。

$CD = BC - BD = 10 - 4 = 6$ であるから、$6^2 = CF \times 12$ より、$36 = 12CF$ となる。

よって、$CF = 3$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 線分BDの長さ: 4

(2) 線分BEの長さ: 2

(3) 線分CFの長さ: 3