次の和を求めます。 (1) $\sum_{k=1}^{n} 3 \cdot 4^{k-1}$ (2) $\sum_{k=1}^{n} 5^k$ (3) $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3^k}$

1. 問題の内容

次の和を求めます。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 3 \cdot 4^{k-1}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} 5^k$

(3) $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3^k}$

2. 解き方の手順

(1)

これは初項 $a = 3$, 公比 $r = 4$ の等比数列の和です。等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ です。したがって、

$S_n = \frac{3(4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{3(4^n - 1)}{3} = 4^n - 1$

(2)

これは初項 $a = 5$, 公比 $r = 5$ の等比数列の和です。等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ です。したがって、

$S_n = \frac{5(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5(5^n - 1)}{4}$

(3)

これは初項 $a = \frac{1}{3}$, 公比 $r = \frac{1}{3}$ の等比数列の和です。項数は $n-1$ です。等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ です。したがって、

$S_{n-1} = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^{n-1})}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3^{n-1}})}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^{n-1}}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^{n}} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3^{n-1}})$

3. 最終的な答え

(1) $4^n - 1$

(2) $\frac{5(5^n - 1)}{4}$

(3) $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3^{n-1}})$