実数 $m$ を定数とする。連立一次方程式 $\begin{cases} 2x+y-2=0 \\ mx-y-3m+1=0 \end{cases}$ が $x>0$ かつ $y>0$ である解をもつとき、$m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $m$ を定数とする。連立一次方程式

$\begin{cases} 2x+y-2=0 \\ mx-y-3m+1=0 \end{cases}$

が $x>0$ かつ $y>0$ である解をもつとき、$m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式を解く。

$\begin{cases} 2x+y-2=0 \\ mx-y-3m+1=0 \end{cases}$

第1式と第2式を足し合わせると、

$2x+mx-2-3m+1=0$

$(2+m)x = 3m+1$

$x = \frac{3m+1}{m+2}$

第1式から $y = 2-2x$ であるから、

$y = 2-2\left(\frac{3m+1}{m+2}\right)$

$y = \frac{2(m+2)-2(3m+1)}{m+2}$

$y = \frac{2m+4-6m-2}{m+2}$

$y = \frac{-4m+2}{m+2}$

問題文より、$x>0$ かつ $y>0$ であるから、

$\begin{cases} x = \frac{3m+1}{m+2} > 0 \\ y = \frac{-4m+2}{m+2} > 0 \end{cases}$

$\frac{3m+1}{m+2} > 0$ より、

$3m+1>0$ かつ $m+2>0$ または $3m+1<0$ かつ $m+2<0$

$m > -\frac{1}{3}$ かつ $m > -2$ または $m < -\frac{1}{3}$ かつ $m < -2$

$m > -\frac{1}{3}$ または $m < -2$

$\frac{-4m+2}{m+2} > 0$ より、

$-4m+2>0$ かつ $m+2>0$ または $-4m+2<0$ かつ $m+2<0$

$-4m>-2$ かつ $m>-2$ または $-4m< -2$ かつ $m< -2$

$m < \frac{1}{2}$ かつ $m > -2$ または $m > \frac{1}{2}$ かつ $m < -2$

$-2<m<\frac{1}{2}$

$m > -\frac{1}{3}$ または $m < -2$

と

$-2<m<\frac{1}{2}$

を満たす $m$ の範囲は、$-\frac{1}{3} < m < \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3} < m < \frac{1}{2}$