$m$ がすべての実数値をとって変化するとき、放物線 $y = x^2 + 2mx + 1$ の頂点はどのような図形上を動くか。

1. 問題の内容

$m$ がすべての実数値をとって変化するとき、放物線 $y = x^2 + 2mx + 1$ の頂点はどのような図形上を動くか。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 $y = x^2 + 2mx + 1$ を平方完成し、頂点の座標を $m$ を用いて表します。

$y = x^2 + 2mx + 1$

$y = (x + m)^2 - m^2 + 1$

よって、頂点の座標は $(-m, -m^2 + 1)$ となります。

次に、頂点の座標を $(X, Y)$ とおきます。すると、

$X = -m$

$Y = -m^2 + 1$

となります。

$X = -m$ より $m = -X$ となります。

これを $Y = -m^2 + 1$ に代入すると、

$Y = -(-X)^2 + 1$

$Y = -X^2 + 1$

となります。

したがって、頂点は放物線 $Y = -X^2 + 1$ 上を動きます。

$m$ はすべての実数値をとるので、$X$ もすべての実数値をとります。よって、放物線全体が答えとなります。

3. 最終的な答え

放物線 $y = -x^2 + 1$