点A(-1,0)と点B(1,0)があり、点P(x,y)は $x^2+y^2-6x-8y+21=0$ を満たしながら動く。このとき、$AP^2+BP^2$ の最小値と最大値を求め、その時の $x$ と $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

点A(-1,0)と点B(1,0)があり、点P(x,y)は $x^2+y^2-6x-8y+21=0$ を満たしながら動く。このとき、$AP^2+BP^2$ の最小値と最大値を求め、その時の $x$ と $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円の方程式を平方完成する。

$x^2 - 6x + y^2 - 8y + 21 = 0$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) + 21 - 9 - 16 = 0$

$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$

これは中心が(3,4)で半径が2の円を表す。

次に、$AP^2 + BP^2$ を計算する。

$AP^2 = (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = (x+1)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x-1)^2 + y^2$

$AP^2 + BP^2 = (x+1)^2 + y^2 + (x-1)^2 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + x^2 - 2x + 1 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2$

$x^2 + y^2 = 6x + 8y - 21$なので、

$AP^2 + BP^2 = 2(6x + 8y - 21) + 2 = 12x + 16y - 42 + 2 = 12x + 16y - 40$

ここで、$x = 3 + 2\cos\theta$、$y = 4 + 2\sin\theta$とおくと、

$AP^2 + BP^2 = 12(3 + 2\cos\theta) + 16(4 + 2\sin\theta) - 40 = 36 + 24\cos\theta + 64 + 32\sin\theta - 40 = 60 + 24\cos\theta + 32\sin\theta$

$= 60 + 8(3\cos\theta + 4\sin\theta)$

ここで、$3\cos\theta + 4\sin\theta$ の最大値と最小値を求める。

$3\cos\theta + 4\sin\theta = 5(\frac{3}{5}\cos\theta + \frac{4}{5}\sin\theta)$

$\cos\alpha = \frac{3}{5}$, $\sin\alpha = \frac{4}{5}$となる角度$\alpha$を用いて、$5(\cos\alpha \cos\theta + \sin\alpha \sin\theta) = 5\cos(\theta - \alpha)$

$-1 \le \cos(\theta-\alpha) \le 1$なので、$-5 \le 5\cos(\theta-\alpha) \le 5$

したがって、$3\cos\theta + 4\sin\theta$ の最大値は5、最小値は-5

$AP^2 + BP^2 = 60 + 8(3\cos\theta + 4\sin\theta)$

$AP^2 + BP^2$の最大値は $60 + 8(5) = 60 + 40 = 100$

このとき、$3\cos\theta + 4\sin\theta = 5$なので、$\cos(\theta-\alpha) = 1$, $\theta = \alpha$

$x = 3 + 2\cos\theta = 3 + 2\cos\alpha = 3 + 2(\frac{3}{5}) = 3 + \frac{6}{5} = \frac{15+6}{5} = \frac{21}{5}$

$y = 4 + 2\sin\theta = 4 + 2\sin\alpha = 4 + 2(\frac{4}{5}) = 4 + \frac{8}{5} = \frac{20+8}{5} = \frac{28}{5}$

$AP^2 + BP^2$の最小値は $60 + 8(-5) = 60 - 40 = 20$

このとき、$3\cos\theta + 4\sin\theta = -5$なので、$\cos(\theta-\alpha) = -1$, $\theta = \alpha + \pi$

$x = 3 + 2\cos(\alpha+\pi) = 3 - 2\cos\alpha = 3 - 2(\frac{3}{5}) = 3 - \frac{6}{5} = \frac{15-6}{5} = \frac{9}{5}$

$y = 4 + 2\sin(\alpha+\pi) = 4 - 2\sin\alpha = 4 - 2(\frac{4}{5}) = 4 - \frac{8}{5} = \frac{20-8}{5} = \frac{12}{5}$

3. 最終的な答え

AP²+BP² は x=9/5 、y=12/5 のとき、最小値20をとり、x=21/5、y=28/5のとき、最大値100をとる。