与えられた等式 $\frac{3}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}$ を利用して、級数 $\frac{3}{2\cdot5} + \frac{3}{5\cdot8} + \frac{3}{8\cdot11} + \cdots + \frac{3}{(3n-1)(3n+2)}$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $\frac{3}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}$ を利用して、級数 $\frac{3}{2\cdot5} + \frac{3}{5\cdot8} + \frac{3}{8\cdot11} + \cdots + \frac{3}{(3n-1)(3n+2)}$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた等式を利用して、各項を分解します。

$\frac{3}{2\cdot5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5}$

$\frac{3}{5\cdot8} = \frac{1}{5} - \frac{1}{8}$

$\frac{3}{8\cdot11} = \frac{1}{8} - \frac{1}{11}$

...

$\frac{3}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}$

したがって、求める和は、

$(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{11}) + \cdots + (\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2})$

となります。

この級数は、隣り合う項が打ち消しあう、いわゆる「telescoping sum（望遠鏡和）」の形になっています。

したがって、残る項は最初の項と最後の項だけになります。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2}$

これを計算すると、

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} = \frac{(3n+2) - 2}{2(3n+2)} = \frac{3n}{2(3n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{3n}{2(3n+2)}$