正七角形に関する以下の数を求める問題です。 (1) 3つの頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4つの頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 対角線の本数 (4) 正七角形と1辺だけを共有する三角形の個数 (5) 正七角形と辺を共有しない三角形の個数

1. 問題の内容

正七角形に関する以下の数を求める問題です。

(1) 3つの頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4つの頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 対角線の本数

(4) 正七角形と1辺だけを共有する三角形の個数

(5) 正七角形と辺を共有しない三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 7つの頂点から3つを選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。

(2) 7つの頂点から4つを選ぶ組み合わせを考えます。同様に組み合わせの公式を用いて計算できます。

(3) 対角線の本数は、全ての頂点の組み合わせから辺の数を引くことで求められます。頂点の組み合わせは $_nC_2$ であり、そこから $n$ を引きます。

(4) 正七角形の1つの辺を固定し、その辺と1辺だけを共有する三角形の数を考えます。固定された辺の両端の頂点と隣り合う頂点以外の頂点を選べば良いです。このような頂点の選び方は、正七角形の辺の数だけ存在するので、それを掛けます。

(5) 正七角形と辺を共有しない三角形の数は、全体の三角形の数から、1辺を共有する三角形の数と2辺を共有する三角形の数を引くことで求められます。2辺を共有する三角形の数は、正七角形の頂点の数と同じです。

3. 最終的な答え

(1) 三角形の個数:

$_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 個

(2) 四角形の個数:

$_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 個

(3) 対角線の本数:

$_7C_2 - 7 = \frac{7 \times 6}{2} - 7 = 21 - 7 = 14$ 本

(4) 1辺だけを共有する三角形の個数:

7角形の辺の数 * (7-4) = 7 * 3 = 21 個

(5) 辺を共有しない三角形の個数:

全体の三角形の数 - 1辺を共有する三角形の数 - 2辺を共有する三角形の数 = 35 - 21 - 7 = 7 個