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次の和 $S$ を求めよ。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3^3 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

解析学級数等比数列和の計算
2025/6/24

1. 問題の内容

次の和 SS を求めよ。
S=1⋅1+3⋅3+5⋅32+7⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n−1S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3^3 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}

2. 解き方の手順

まず、SS を書き下します。
S=1⋅1+3⋅3+5⋅32+7⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n−1S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3^3 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}
次に、両辺を3倍します。
3S=1⋅3+3⋅32+5⋅33+7⋅34+⋯+(2n−1)⋅3n3S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + 7 \cdot 3^4 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n}
SS から 3S3S を引きます。
S−3S=(1⋅1+3⋅3+5⋅32+7⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n−1)−(1⋅3+3⋅32+5⋅33+7⋅34+⋯+(2n−1)⋅3n)S - 3S = (1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3^3 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + 7 \cdot 3^4 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n})
−2S=1+2⋅3+2⋅32+2⋅33+⋯+2⋅3n−1−(2n−1)⋅3n-2S = 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + \dots + 2 \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n
−2S=1+2(3+32+33+⋯+3n−1)−(2n−1)⋅3n-2S = 1 + 2(3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{n-1}) - (2n-1) \cdot 3^n
ここで、等比数列の和の公式を使います。
3+32+33+⋯+3n−1=3(3n−1−1)3−1=3(3n−1−1)23 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2}
これを代入します。
−2S=1+2⋅3(3n−1−1)2−(2n−1)⋅3n-2S = 1 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} - (2n-1) \cdot 3^n
−2S=1+3(3n−1−1)−(2n−1)⋅3n-2S = 1 + 3(3^{n-1} - 1) - (2n-1) \cdot 3^n
−2S=1+3n−3−(2n−1)⋅3n-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^n
−2S=3n−2−(2n−1)⋅3n-2S = 3^n - 2 - (2n-1) \cdot 3^n
−2S=3n−2−2n⋅3n+3n-2S = 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n + 3^n
−2S=2⋅3n−2−2n⋅3n-2S = 2 \cdot 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n
−2S=2(3n−1−n⋅3n)-2S = 2(3^n - 1 - n \cdot 3^n)
S=−(3n−1−n⋅3n)S = - (3^n - 1 - n \cdot 3^n)
S=n⋅3n−3n+1S = n \cdot 3^n - 3^n + 1
S=(n−1)3n+1S = (n-1)3^n + 1

3. 最終的な答え

S=(n−1)3n+1S = (n-1)3^n + 1

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