次の不定積分を計算します。 $\int \frac{x^2 - 4x}{\sqrt{x-2}} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{x^2 - 4x}{\sqrt{x-2}} dx$

2. 解き方の手順

まず、$t = \sqrt{x-2}$ と置換します。すると、$t^2 = x-2$ となり、$x = t^2 + 2$ です。

$dx = 2t dt$ となります。

この置換を用いて積分を書き換えます。

$\int \frac{(t^2+2)^2 - 4(t^2+2)}{t} 2t dt = \int 2((t^2+2)^2 - 4(t^2+2)) dt$

$= 2\int (t^4 + 4t^2 + 4 - 4t^2 - 8) dt = 2\int (t^4 - 4) dt$

$= 2(\frac{1}{5}t^5 - 4t) + C = \frac{2}{5}t^5 - 8t + C$

ここで、$t = \sqrt{x-2}$ を代入します。

$= \frac{2}{5} (x-2)^{5/2} - 8\sqrt{x-2} + C$

$= \frac{2}{5} (x-2)^{5/2} - \frac{40}{5}\sqrt{x-2} + C$

$= \frac{2}{5} (x-2)^{5/2} - \frac{40}{5} (x-2)^{1/2} + C$

$= \frac{2}{5} (x-2)^{1/2} ((x-2)^2 - 20) + C$

$= \frac{2}{5} \sqrt{x-2} (x^2 - 4x + 4 - 20) + C$

$= \frac{2}{5} \sqrt{x-2} (x^2 - 4x - 16) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{x^2 - 4x}{\sqrt{x-2}} dx = \frac{2}{5} (x^2 - 4x - 16)\sqrt{x-2} + C$