与えられた積分を計算する問題です。 $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

解析学積分置換積分指数関数対数関数

2025/6/24

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。

\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を使います。

u = e^x + e^{-x}

と置きます。

このとき、

du = (e^x - e^{-x}) dx

となります。

したがって、積分は以下のように書き換えられます。

\int \frac{1}{u} du

\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C

u = e^x + e^{-x}

を代入して、

\ln |e^x + e^{-x}| + C

e^x

と

e^{-x}

は常に正なので、絶対値記号を省略できます。

3. 最終的な答え

\ln (e^x + e^{-x}) + C

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